Число Ейлера

Число " e "

Число e зустрічається у шкільному курсі рідше, ніж число Пі, та у вищій математиці воно відіграє важливу роль і зустрічається дуже часто. 

Припустимо, що хтось поклав 1$ у банк, який сплачує 4% річних. Якщо відсотки складні, то після кожного їх нарахування кількість грошей збільшуватиметься і відсотки кожного наступного разу нараховуватимуться від збільшеної загальної суми. Чим частіше робитимуть перерахунки, тим швидше збільшуватиметься вклад. Коли щороку нараховувати складні відсотки, 1$ за 25 років перетвориться у (1 + 0,04)²⁵, тобто у 2,66$. Коли нараховуватимуть складні відсотки кожні півроку, то за 25 років долар перетвориться у (1 + 0,02)⁵⁰, або 2,69$.

У рекламних проспектах банків їх автори особливо підкреслюють, скільки разів на рік нараховуються відсотки. Може скластися враження, що коли досить часто нараховувати відсотки (наприклад, мільйон разів на рік), то за 25 років долар перетвориться у досить велику суму грошей. Насправді ж цього не відбудеться. Через 25 років долар виріс би до величини

де n — кількість нарахувань прибутку. При n, що прямує до нескінченності, цей вираз прямуватиме до границі, яка дорівнює 2,718..., що лише на 3 центи більше за ту суму, яку б отримали, коли б прибуток нараховувався один раз кожні півроку. Ця границя і називається числом e.

Як і число Пі, число e — трансцендентне, тобто воно не може бути коренем якогось алгебраїчного рівняння з раціональними коефіцієнтами.

Перші 20 знаків числа e такі:

e ≈ 2,71828182845904523536.

Першим запровадив символ e  Ейлер. Йому належить так багато відкриттів, пов'язаних з числом e, що зрештою число e стали називати «числом Ейлера».