ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩ І ОБ’ЄМІВ

Визначений інтеграл має широке застосування у математиці та фізиці. Розглянемо застосування визначеного інтеграла у геометрії, зокрема для знаходження площ фігур, обмежених графіками функцій, та об’ємів тіл.

Площа криволінійної трапеції

Площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком неперервної невід’ємної функції на відрізку [a;b] функції  f(x), віссю Ox  і прямими x=a і  x=b, дорівнює:

Якщо на заданому проміжку [a;b] неперервні функції у=f(x)  і  у=g(x)  мають ту властивість, що f(x) >g(x) для всіх  x з проміжку [a;b], то :

Розглянемо приклади

Завдання 1. 

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: y=sinx, y=3cosx, x=π, x=π/2.

Розв’язання

1. Для обчислення площі фігури спочатку побудуємо графіки функцій  y=sinx, y=3cosx.

2. Межі інтегрування у данному випадку нам задані.

3. Шукана фігура обмежена на заданому проміжку згори графіком функції y=sinx, а знизу – y=3cosx.

4. Обчислимо площу, застосовуючи вказану вище формулу (1).

Відповідь: 4 кв.од.

Завдання 2.

Обчислити площу фігури, обмеженої прямими у=х+4, у=2х+1, х=0, х=1.

Відповідь: 2,5 кв. од.

Завдання 3. 

Розв’язання

Використаємо для розв’язання геометричний зміст  визначенного інтегралу.

Шукана площа буде площею прямокутної трапеції з основами, що мають довжину: 8 од. та 3 од. та висотою 7 од.

S=0,5(3+8)*7=36,5 (кв.од.)

Відповідь: 36,5 кв.од.

Об’єми тіл

Якщо тіло вміщено між двома перпендикулярними до осі Ох площинами, що проходять через точки x=a, х=b, функція S(x) задає площу перерізу тіла площиною, яка проходить через довільну точку х відрізка  [a,b] і перпендикулярна до осі  Ох, то об’єм тіла знайдемо за формулою:

Якщо тіло одержане в результаті обертання навколо осі Ох криволінійної трапеції, яка обмежена графіком неперервної і невід’ємної на відрізку [a,b] функції y=f(x) і прямими x=a, х=b, то об’єм тіла знайдемо за формулою:

Розглянемо приклад

Завдання 4.

Очислити об’єм тіла обертання навколо осі абсцис прямих у=х+4, у=2х+1 на відрізку [0,1] . Використаємо малюнок до задачі 2. Шукане тіло знайдемо як різницю тіл утворених обертанням прямої у=х+4 та обертанням прямої у=2х+1. Маємо:

Відповідь: 16π  куб,. од.

Математика абітурієнту