Визначений інтеграл має широке застосування у математиці та фізиці. Розглянемо застосування визначеного інтеграла у геометрії, зокрема для знаходження площ фігур, обмежених графіками функцій, та об’ємів тіл.
Площа криволінійної трапеції
Площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком неперервної невід’ємної функції на відрізку [a;b] функції f(x), віссю Ox і прямими x=a і x=b, дорівнює:
Якщо на заданому проміжку [a;b] неперервні функції у=f(x) і у=g(x) мають ту властивість, що f(x) >g(x) для всіх x з проміжку [a;b], то :
Розглянемо приклади
Завдання 1.
Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: y=sinx, y=3cosx, x=π, x=π/2.
Розв’язання
1. Для обчислення площі фігури спочатку побудуємо графіки функцій y=sinx, y=3cosx.
2. Межі інтегрування у данному випадку нам задані.
3. Шукана фігура обмежена на заданому проміжку згори графіком функції y=sinx, а знизу – y=3cosx.
4. Обчислимо площу, застосовуючи вказану вище формулу (1).
Відповідь: 4 кв.од.
Завдання 2.
Обчислити площу фігури, обмеженої прямими у=х+4, у=2х+1, х=0, х=1.
Відповідь: 2,5 кв. од.
Завдання 3.
Розв’язання
Використаємо для розв’язання геометричний зміст визначенного інтегралу.
Шукана площа буде площею прямокутної трапеції з основами, що мають довжину: 8 од. та 3 од. та висотою 7 од.
S=0,5(3+8)*7=36,5 (кв.од.)
Відповідь: 36,5 кв.од.
Об’єми тіл
Якщо тіло вміщено між двома перпендикулярними до осі Ох площинами, що проходять через точки x=a, х=b, функція S(x) задає площу перерізу тіла площиною, яка проходить через довільну точку х відрізка [a,b] і перпендикулярна до осі Ох, то об’єм тіла знайдемо за формулою:
Якщо тіло одержане в результаті обертання навколо осі Ох криволінійної трапеції, яка обмежена графіком неперервної і невід’ємної на відрізку [a,b] функції y=f(x) і прямими x=a, х=b, то об’єм тіла знайдемо за формулою:
Розглянемо приклад
Завдання 4.
Очислити об’єм тіла обертання навколо осі абсцис прямих у=х+4, у=2х+1 на відрізку [0,1] . Використаємо малюнок до задачі 2. Шукане тіло знайдемо як різницю тіл утворених обертанням прямої у=х+4 та обертанням прямої у=2х+1. Маємо:
Відповідь: 16π куб,. од.
